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在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。
那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2. 反码
反码的表示方法是:
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3. 补码
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
原码、反码、补码的详细符号位表示法:
符号位的表示:最常用的表示方法有原码、反码和补码。
(1)原码表示法:一个机器数x由符号位和有效数值两部分组成,设符号位为x0,x真值的绝对值|x|=x1x2x3...xn,则x的机器数原码可表示为: [x]原= ,当x>=0时,x0=0,当x<0时,x0=1。
例如:已知:x1=-1011B,x2= +1001B,则x1,x2有原码分别是 [x1] 原=11011B,[x2]原=01001B 规律:正数的原码是它本身,负数的原码是取绝对值后,在最高位(左端)补“1”。
(2)反码表示法:一个负数的原码符号位不变,其余各位按位取反就是机器数的反码表示法。正数的反码与原码相同。 按位取反的意思是该位上是1的,就变成0,该位上是0的就变成1。即1=0,0=1
(3)补码表示法: 首先分析两个十进制数的运算:78-38=41,79+62=141 如果使用两位数的运算器,做79+62时,多余的100因为超出了运算器两位数的范围而自动丢弃,这样在做78-38的减法时,用79+62的加法同样可以得到正确结果。 模是批一个计量系统的测量范围,其大小以计量进位制的基数为底数,位数为指数的幂。如两位十进制数的测量范围是1——9,溢出量是100,模就是102=100,上述运算称为模运算,可以写作: 79+(-38)=79+62 (mod 100) 进一步写为 -38=62,此时就说 –38的补法(对模100而言)是62。计算机是一种有限字长的数字系统,因此它的运算都是有模运算,超出模的运算结果都将溢出。n位二进制的模是2n, 一个数的补码记作[x]补,设模是M,x是真值,则补码的定义如下:
例:设字长n=8位,x=-1011011B,求[x]补。
解:因为 n=8,所以模 M=28=100000000B,x<0,所以 [x]补=M+x=100000000B-1011011B=10100101B 注意:这个x的补码的最高位是“1”,表明它是一个负数。对于二进制数还有一种更加简单的方法由原码求出补码:
(1)正数的补码表示与原码相同;
(2)负数的补码是将原码符号位保持“1”之后,其余各位按位取反,末位再加1便得到补码,即取其原码的反码再加“1”:[x]补=[x]反+1。 下表列出 的8位二进制原码,反码和补码并将补码用十六进制表示。
真值 原码(B) 反码(B) 补码(B) 补码(H) +127 0 111 1111 0 111 1111 0 111 1111 7F +39 0 010 0111 0 010 0111 0 010 0111 27 +0 0 000 0000 0 000 0000 0 000 0000 00 -0 1 000 0000 1 111 1111 0 000 0000 00 -39 1 010 0111 1 101 1000 1 101 1001 D9 -127 1 111 1111 1 000 0000 1 000 0001 81 -128 无法表示 无法表示 1 000 0000 80 从上可看出,真值+0和-0的补码表示是一致的,但在原码和反码表示中具有不同形式。8位补码机器数可以表示-128,但不存在+128的补码与之对应,由此可知,8位二进制补码能表示数的范围是-128——+127。还要注意,不存在-128的8位原码和反码形式。
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